एक समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लम्ब का वर्ग उस लम्ब द्वारा विभाजित विकर्ण के दो खंडो के गुणनफल के बराबर होता है|

Explanation

एक समकोण त्रिभुज ABC जिसमे कोण A समकोण है तथा शीर्ष A के कर्ण BC पर लम्ब AD है |
सिद्ध करना है : ` AD^ 2 = BD xx CD `

उपपत्ति :` Delta ADB ` और ` Delta ADC ` दोनों समकोण त्रिभुज है |
` therefore AB^ 2 = AD^ 2 + BD^ 2 " " `...(i) [पाइथागोरस प्रमेय से ]
तथा, ` AC^ 2 = AD ^ 2 + CD^ 2 " "`...(ii) [पाइथागोरस प्रमेय से ]
(i) व (ii ) को जोड़ने पर
` AB^ 2 + AC^ 2 = 2 AD^ 2 + BD^ 2 + CD^ 2 `
`rArr BC^ 2 2AD^ 2 + BD^ 2 + CD^ 2 `
` rArr ( BD + CD ) ^ 2 = 2AD^ 2 + BD^ 2 + CD^ 2 " " [ because BC = BD + CD] `
` rArr BD^ 2 + CD^ 2 + 2 BD xx CD = 2 AD^ 2 + BD^ 2 + CD ^ 2 `
` rArr 2 BD xx CD = 2 AD^ 2 `
` rArr AD^ 2 = BD xx CD `