यदि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A है तथा समकोण बनाने वाली एक भुजा की लम्बाई b हो तो सिद्ध करो की समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लम्ब की लम्बाई ` (2Ab)/(sqrt( b^(2) + 4A^(2) ) )` है|

Explanation

माना PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण Q समकोण है | दिया है कि QR =b तथा `A = ar ( Delta PQR ) `
माना `QN bot PR `
दिया है,
` A = ar ( Delta PQR ) `
` rArr A = ( 1 ) /( 2 ) ( QR xx PQ ) `
` rArr A = ( 1 )/( 2 ) ( b xx PQ ) `

` rArr PQ = ( 2A ) /( b )" " `...(i)
` Delta PNQ` तथा ` Delta PQR ` में
` angle PNQ = angle PQR " " `[ प्रत्येक कोण `90 ^@ ` का है ]
तथा ` angle QP N = angle QPR " "` [ उभयनिष्ठ कोण ]
अतः समरूपता की AA कसौटी से
` Delta PNQ ~ Delta PQR `
` rArr (PQ)/(PR) = ( NQ ) /( QR ) " " `...(ii)
` Delta PQR ` में पाइथागोरस प्रमेय से
` PQ^ 2 + QR^ 2 = PR^ 2 `
` rArr ( 4A^ 2 ) /( b ^ 2 ) + b ^ 2 = PR^2 `
` rArr PR = sqrt(( 4A^ 2 + b ^ 4 ) /( b ^ 2 )) = (sqrt ( 4A^ 2 + b ^ 4 ))/( b ) `
(i) तथा (ii ) से,
` (2A) / ( b xx PR) = ( NQ ) / ( b ) `
`rArr NQ = ( 2A ) /( PR ) `
` rArr NQ = (2Ab) /( sqrt ( 4A^ 2 + b ^ 4 ))" " [ becaue PR= (sqrt (4A^ 2 + b^ 4 ))/ ( b ) ] `