यदि ` tanA = sqrt(2)-1 ` हो , तो सिद्ध करो कि ` sinA cosA = (sqrt(2))/(4 )`

Explanation

दिया है , `tan A = ("लम्ब")/("आधार")=(sqrt(2)-1)/(1)`
अतः हम एक समकोण `DeltaABC ` की रचना करते है जिसका कोण B समकोण है तथा उसमे ,आधार = AB =1 और लम्ब = BC = `sqrt(2)-1 `
त्रिभुज ABC में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर
`AC^(2)=AB^(2)+BC^(2)`
` implies AC^(2)=1^(2)+(sqrt(2)-1)^(2)`
` implies AC^(2)=1+2+1-2 sqrt(2)`
`implies AC^(2)=4-2sqrt(2)`
` AC=sqrt(4-2sqrt(2))`
`:. sin A =(BC)/( AC)=( sqrt(2)-1)/(sqrt(4-2sqrt(2))) " और " cos A =(AB)/(AC)=(1)/(sqrt(4-2sqrt(2)))`
अतः ` sin A cos A =(sqrt(2)-1)/(sqrt(4-2sqrt(2))) xx (1)/( sqrt(4-2 sqrt(2)))=(sqrt(2)-1)/( 4- 2 sqrt(2))`
`implies sin A cos A =( sqrt(2)-1)/( 2 sqrt(2)( sqrt(2)-1))=(1)/(2 sqrt(2))=(sqrt(2))/(4)`