यदि ` cot B = ( 12 )/(5 )` हो , तो सिद्ध करो कि ` tan^2B-sin^(2)B= sin^(4)B sec^(2)B` ।

Explanation

दिया है , ` cot B =( "आधार ")/("लम्ब")=(12 )/(5 )`
अतः एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना करते है जिसका कोण C समकोण है , और आधार = BC =12 इकाई तथा लम्ब = AC = 5 इकाई
पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर
`AB^(2)=BC^(2)+AC^(2)`
` implies AB^(2)=12^(2)+5^(2)=169`
`implies AB= sqrt(169)=13`
`:. sinB=(AC)/(AB)=(5)/(13), tan B =(AC)/(BC)=(5)/(12) ` और `secB=(AB)/(BC)=(13)/(12)`
अब , ` LHS= tan^(2)B-sin^(2)B`
`implies LHS=(tanB)^(2)=(sinB)^(2)`
`implies LHS=((5)/(12))^(2)-((5)/(13))^(2)=(25)/(144)-(25)/(169)`
`implies LHS=25((1)/(144)-(1)/(169))=25((169-144)/(144xx169))`
` implies LHS= 25xx (25)/(144xx169)=(25xx25)/(144xx169)`
`implies LHS=(5^(2) xx 5^(2))/(12^(2) xx 13^(2))` ......(i)
और `RHS =sin^(4)B sec^(2) B `
` implies RHS=(sinB)^(4)(secB)^(2)`
`implies RHS=((5)/(13))^(4) xx ((13)/(12))^(2)=( 5^(4) xx 13^(2))/(13^(2) xx 12^(2))` .......(ii)
(i ) तथा (ii ) से ,
` tan^(2)B- sin^(2)B=sin^(4)B sec^(2)B`