यदि एक समांतर श्रेढ़ी का p वां , q वां तथा r वां पद क्रमश : `a,b,`तथा c हो , तो सिद्ध कीजिए कि
`a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0`

Explanation

मान लीजिए कि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद =A तथा सार्वान्तर =D है
`therefore a=p` वाँ पद `implies a=A+(p-1) D `
`b=q` वाँ पद `implies b=A + (q-1) D `
` c=r ` वाँ पद ` implies c=A +(r-1) D `
` (i) a(q-r) +b (r-p) +c (p-q) `
` ={ A+(p-1) D } (q-r) +{a+(q-1) D} (r-p) +{A+(r-1) D}(p-q)`
[ समीकरण (i ) ,(ii ) तथा (iii ) के प्रयोग से ]
` =A {(q-r)+(r-p) +(p-q) }+D {(p-1) (q-r) (r-p)+ (r-1) (p-q)}`
` =A .0 +D {P(q-r)+q(r-p) +r (p-q) -(q-r) -(r-p) -(p-q)}`
` =A.0 +D .0=0`