किसी समांतर श्रेणी के m पदों का योग n और n पदों का योग m है। सिद्ध कीजिए की `(m+n)` पदों का योग `-(m+n)` होगा ।

Explanation

मान लीजिए दी गई श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्व अंतर d है ।
दिया है कि
` S_(m) =n`
` implies (m) /(2) { 2a +(m-1) d} =n`
तथा ` s_(n) =m`
` implies (n)/(2) {2a+(n-1) d}=m`
` implies 2an +n(n-1) d=2m`
समीकरण (i ) में से समीकरण (ii ) को घटाने पर
` 2a (m-n) +{m(m-1) -n(n-1) }d= 2n-2m`
` implies 2a (m-n) +{(m^(2) -n^(2)) -(m-n)}d=-2(m-n)`
`implies 2a +(m+n-1) d=-2` [ दोनों तरफ (m -n ) से भाग करने पर ] ....(iii )
अब , `S_(m+n)=(m+n)/(2) { 2 +(m+n-1) d}`
` implies S_(m+n) =((m+n))/(2)(-2)` [ (iii ) के प्रयोग से ]
` implies S_(m+n) =-(m+n)`