यदि एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम p,q,r पदों का योगफल क्रमश : a,b,c हो , तो दर्शाइए कि
` (a) /(p) (q-r) +(b)/(q) (r- p) +(c ) /(r ) (p-q) =0`

Explanation

मान लीजिए कि दी गई समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद = A तथा सार्वान्तर =D है
` therefore a=p ` पदों का योगफल
`implies a=(p)/(2) {2A+(p-1) D}`
` implies (2a)/(p) ={2A +(p-1) D}`
b=p पदों का योगफल
` implies b=(p)/(2) {2A+(q-1)D}`
` implies (2b) /(q) ={2A+(q-1)D}`
तथा `c=r` पदों का योगफल
`implies C=(r)/(2) {2A+(r-1)D}`
` implies (2c)/(r) ={2A+(r-1) D}`
समीकरण (i ) ,(ii ) तथा (iii ) को क्रमश : (p -r ) ,(r -p ) और (p -q ) से गुना करके जोड़ने पर
`(2a) /(p) (q-r) +(2b) (r-p) +(2c) (p-q)`
`=[2A +(p-1) D](q-r)+[2A+(q-1)D] (r-p) +[2A+(r-1)D](p-q) `
` =2A (q-r+r-p+p-q) +D {(p-1) (q-r)+(q-1) (r-p) +(r-1) (p-q)}`
`implies 2A xx0 +Dxx0=0`