एक समांतर श्रेढ़ी के m तथा n पदों पदों के योगफल का अनुपात `m ^(2 ) :n ^(2 )` है । सिद्ध कीजिए कि m वे तथा n वे पदों का अनुपात `(2m -1 ):(2n -1 )` है ।

Explanation

मान लीजिए कि दी गई समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्व अन्तर d है ।
माना ,m तथा n पदों के योगफल क्रमश : `S _(m ) ` तथा `s _(n )` है
` therefore S_(m) =(m)/(2) {2a+(m-1)d}` तथा ` S_(n) =(n)/(2) {2a+(n-1)d}`
दिया है कि :
`(S_(m ) )/( s_(n ) )=(m^(2))/(n^(2))`
` ((m)/(2) {2a+(m-1)d} )/( (n)/(2){2a+(n-1) d}) =(m^(2))/(n^(2))`
`implies (2a +(m-1)d)/(2a +(n-1)d)=(m)/(n)`
` implies [ 2a +(m-1) d] n=[2a+(n-1)d]m`
` implies 2a (n-m) =d[ (n-1) m-(m-1) n)]`
` implies 2a (n-m) =d(n-m)`
`implies d=2a`
`therefore (T_(m))/(T_(n))=(a+(m-1)d)/(a+(n-1)d)=(a+(m-1)2a)/(a+(n-1)2a)=(2m-1)/(2n-1)`