एक वृत्त , त्रिभुज ABC की भुजा बस को बिंदु P पर स्पर्श करता है तथा बढ़ी हुई भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदुओं Q और R पर स्पर्श करता है । सिद्ध करो कि `AQ=(1)/(2)(DeltaABC` का परिमाप)

Explanation

हम जानते है कि वृत्त पर किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लम्बाई कि होती हैं।

अतः BP =BQ … (i) [ बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ।]
CP =CR … (ii) [बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ।]
तथा AQ=AR ..(iii) [बिंदु A से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ|]
अब, AQ =AR [(iii) से]
`rArrAB+BQ=AC+CR`
`rArrAB+BP=AC+CP` ... (iv) [(i) व (ii) से]
`DeltaABC` का परिमाप AB+BC+CA
`rArrDeltaABC` का परिमाप =AB+BP+CP+AC
`rArrDeltaABC` का परिमाप =(AB+BP)+(AC+CP)
`rArrDeltaABC` का परिमाप =2(AB+BP) [ (iv) से AB+BP=AC+CP]
`rArrDeltaABC` का परिमाप =2(AB+BQ) [`becauseBP=BQ` (i) से]
`rArrDeltaABC` का परिमाप =2AQ
अतः `DeltaABC` का परिमाप `=2AQ [becauseAB+BQ=AQ]`
`rArrAQ=(1)/(2)(DeltaABC` का परिमाप)