वृत्त C(O,r) एक चतुर्भुज ABCD कि भुजाओं AB,BC,CD और DA को क्रमशः बिंदुओं P,Q,R और पर स्पर्श करता है। सिद्ध करो कि चतुर्भुज कि सम्मुख भुजाओं द्वारा केंद्र पर आन्तरिक कोणों का योग दो समकोण होता है।

Explanation

दिया है: एक वृत्त C(O,r) जोकि एक चतुर्भुज ABCD कि भुजाओं AB,BC,CD और DA को क्रमशः बिंदुओं P,Q,R और पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: `angleAOB+angleCOD=180^(@)` तथा `angleBOC+angleAOD=180^(@)`
रचना: `OP,OQ,OR` तथा OS को मिलाइए।
उपपत्ति : हम जानते है कि बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर बराबर कोण आन्तरिक करती हैं।
`thereforeangle1=angle2` ... (i)
`angle3=angle4` ... (ii)
`angle5=angle6` ... (iii)
तथा, `angle7=angle8` ... (iv)
स्पष्ट हैं कि : बिंदु O पर बने सभी कोणों का योग चार समकोण है।
`thereforeangle1+angle2+angle3+angle4+angle5+angle6+angle7angle8=360^(@)`
`rArr2(angle2+angle3+angle3+angle6+angle7)=360^(@)`
तथा `2(angle1+angle8+angle4+angle5)=360^(@)` [(i) से (iv) का प्रयोग करने पर]
`rArrangle2+angle3+angle6+angle7=180^(@)` तथा `angle1+angle8+angle4+angle5=180^(@)`
`rArr(angle2+angle3)+(angle6+angle7)=180^(@)` तथा `(angle1+angle8)+(angle4+angle5)=180^(@)`
`rArrangleAOB+angleCOD=180^(@)[becauseangle2+3=angleAOBangle6+angle7=angleCOD angle1+angle8=angleAOD` तथा `angle4+angle5=angleBOC]`