यदि एक समद्विभाज त्रिभुज ABC , जिसमें ABC,जिसमें AB=AC=6 है, जो 9 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंतर्गत हो , तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें ।

Explanation

माना कि O वृत्त का केंद्र है तथा BC का मध्य बिंदु P है तो , `OPbotBC`
चूँकि `DeltaABC` समद्विबाहु है तथा P , BC का मध्य बिंदु है। अतः `APbotBC` , समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर मध्यिका उस पर लम्बवत होती है।

माना कि AP =x तथा PB =CP =y
अब त्रिभुज APB तथा त्रिभुज OPB में , पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
`AB^(2)=BP^(2)+AP^(2)` तथा `OB^(2)=OP^(2)+BP^(2)`
`rArr36=y^(2)+x^(2)` ... (i) तथा `81=(9-x)^(2)+y^(2)` ... (ii)
`rArr81-36={(9-x)^(2)+y^(2)}-{y^(2)+x^(2)}` " " [(ii) में से (i) को घटाने पर ]
`rArr45=81-18x`
`rArrx=2` सेमी.
अब x=2 का मान (i) में रखने पर,
`36=y^(2)+4rArry^(2)=32rArry=4sqrt(2)` सेमी.
`thereforeBC=2BP=2y=8sqrt(2)` सेमी.
अतः `DeltaABC` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)BCxxAP=(1)/(2)xx8sqrt(2)xx2"सेमी"^(2)`.