सिद्ध कीजिए की बिन्दु ` (a,a), (-a, -a)` और `(-sqrt(3)a, sqrt(3)a)` एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं । इस त्रिभुज क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए ।

Explanation

मान `A(a,a), B(-a-a)` और `C(-sqrt(3)a, sqrt(3)a)` दिये गये बिन्दु हैं ।
दूरी के सूत्र के प्रयोग से
`AB=sqrt((-a-a)^(2)+(-a-a)^(2))=sqrt(4a^(2)+4a^(2))=2sqrt(2)a`
`BC=sqrt((-sqrt(3)a+a)^(2)+(sqrt(5)a+a)^(2))`
`rArr BC=sqrt(a^(2)(1-sqrt(3))^(2)+a^(2)(sqrt(3)+1)^(2))`
`rArrBC=asqrt((1-sqrt(3))^(2)+(1+sqrt(3))^(2))`
`rArr BC=a sqrt(1+3-2 sqrt(3) +1+3+2 sqrt(3))=a sqrt(8)= 2 sqrt(2) a`तथा ,`AC=sqrt((-sqrt(3)a-a)^(2)+(sqrt(3)a-a)^(2))`
`rArr AC=sqrt(a^(2)(sqrt(3)+1)^(2)+a^(2)(sqrt(3)-1)^(2))`
`rArr AC=a sqrt((sqrt(3)+1)^(2)+(sqrt(3)-1)^(2))`
`rArr AC=a sqrt(3+1+2 sqrt(3)+3+1-2 sqrt(3))= a sqrt(8)=2 sqrt(2)a`
स्पष्टत है कि `AB= BC=AC=2 sqrt(2)a`
अतः दिये गये बिन्दुओं से बना त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है ।
अब,
`DeltaABC` का क्षेत्रफल `=(sqrt(3))/(4)("भुजा")^(2)`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `= (sqrt(3))/(4)xx AB^(2)`
`rArr DeltaABC` का क्षेत्रफल `=(sqrt(3))/(4)xx(2 sqrt(2)a)^(2)` वर्ग इकाई `= 2 sqrt(3)a^(2)` वर्ग इकाई