सिद्ध कीजिये कि बिन्दु `A(4, -1), B(6, 0), C(7, 2)` और `D(5, 1)` एक समचतुर्भुज के शीर्ष है । क्या यह एक वर्ग है ?

Explanation

माना A, B, C और D क्रमशः दिए गये बिन्दु हैं ।
विकर्ण AC के मध्य -बिन्दु के निर्देशांक `((4+7)/(2), (-1+2)/(2))=(11/2, 1/2)` हैं ।
विकर्ण BD के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक `((6+5)/(2), (0+1)/(2))=(11/2, 1//2)`हैं ।
स्पष्ट है कि AC तथा BD का मध्य बिन्दु उभयनिष्ठ बिन्दु है ।
अतः ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है ।
अब,`AB=sqrt((6-4)^(2)+(0+1)^(2))=sqrt(5)` और `BC=sqrt((7-6)^(2)+(2-0)^(2))=sqrt(5)`
`:.AB=BC`
इससे यह स्पष्ट है कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजा का समान हैं ।
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है ।
`AC=sqrt((7-4)^(2)+(2+1)^(2))=3sqrt(2)` और `BD=sqrt((6-5)^(2)+(0-1)^(2))=sqrt(2)`
स्पष्टतया , `AC!=BD`
अतः ABCD एक वर्ग नहीं है ।