यदि एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं के निर्देशांक (1, 2), (0,-1) और (2, -1) हैं, तो इसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये ।

Explanation

माना बिन्दु `a(x_(1),y_(1)), B(x_(2), y_(2))`और `C(x_(3),y_(3))` त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं । माना `D(1, 2) E(0, 1)`और `F(2, -1)`क्रमशः भुजाओं `BC,CA`और AB के मध्य बिन्दु हैं ।
चूँकि भुजा BC का मध्य बिन्दु D है ।
`:.(x_(2)+x_(3))/(2)=1`तथा `(y_(2)+y_(3))/(2)=2`
`rArr x_(2)+x_(3)=2`तथा `y_(2)+y_(3)=4` ...(i)
इसी प्रकार E और F क्रमशः भुजाओं CA और AB के मध्य बिन्दु हैं ।
`:.(x_(1)+x_(3))/(2)=0` तथा `(y_(1)+y_(3))/(2)=-1`
`rArr x_(1)+x_(3)=0`तथा `y_(1)+y_(3)=-2` ... (ii)
और , `(x_(1)+x_(2))/(2)=2` तथा `(y_(1)+y_(2))/(2)=-1`
`rArrx_(1)+x_(2)=4` तथा `y_(1)+y_(2)=-2` ...(iii)
(i), (ii) और (iii)से ,

`(x_(2)+x_(3))+(x_(1)+x_(3))+(x_(1)+x_(2))=2+0+4`
तथा, `(y_(2)+y_(3))+(y_(1)+y_(3))+(y_(1)+y_(2))=4-2-2`
`rArr x_(1)+x_(2)+x_(3)=3` तथा `y_(1)+y_(2)+y_(3)=0` ...(iv)
(i) के संगत पक्षों को (iv) से घटाने पर
`(x_(1)+x_(2)+x_(3))-(x_(1)+x_(3))=3-2` और `(y_(1)+y_(2)+y_(3))-(y_(2)+y_(3))=0-4`
`rArr x_(1)=1` और `y_(1)=-4`
अतः शीर्ष A के निर्देशांक (1, -4) हैं ।
(ii) के संगत पक्षों को (iv) से घटाने पर
`(x_(1)+x_(2)+x_(3))-(x_(1)+x_(3))=3-0`और `y_(1)+y_(2)+y_(3)-(y_(1)+y_(3))=0+2`
`rArr x_(2)=3` तथा `y_(2)=2`
अतः शीर्ष B के निर्देशांक (3, 2) हैं ,
(iii) के संगत पक्षों को (iv) से घटाने पर
`(x_(1)+x_(2)+x_(3))-(x_(1)+x_(2))=3-4` और `y_(1)+y_(2)+y_(3)-(y_(1)+y_(2))=0-(-2)`
`rArr x_(3)=-1` तथा `y_(3)=3`
अतः शीर्ष C के निर्देशांक `(-1, 2)` हैं ।
अतः त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक `A(1, 4), B(3, 2)` और `C(-1,2)`हैं ।