सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके निर्देशांक `(t, t-2), (t+2, t+2)` और `(t+3,t),t` के मान पर निर्भर नहीं करता है ।

Explanation

माना `A=(x_(1),y_(1))=(t,t-2), B=(x_(2),y_(2))=(t+2, t+2)` और `C= (x_(3),y_(3))=(t+3,t)`दिये हुए त्रिभुज के शीर्ष हैं ।
`:. Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2|x_(1)(y_(2)-y_(3))+x_(2)(y_(3)-y_(1))+x_(3)(y_(1)-y_(2))|`
`rArrDeltaABC`का क्षेत्रफल `=1/2|{t(t+2-t)+(t+2)(t-t+2)+(t+3)(t-2-t-2)}|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |{(2t+2t+4-4t-12)}|=|-4|=4`वर्ग इकाई
स्पष्ट है कि `Delta ABC ` का क्षेत्रफल t के मान पर निर्भर नहीं करता है ।
वैकल्पिक विधि : त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों को चार स्तम्भों में निम्न प्रकार से लिखते हैं :

`:.Delta ABC ` का क्षेत्रफल `=1/2 {t(t+2)+(t+2)t+(t+3)(t-2)}-{(t+2)(t-2)+t(+3)(t+2)+txxt}|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |(t^(2)+2t+t^(2)+2t+t^(2)+t-6)-(t^(2)-4+t^(2)+5t+6+t^(2))|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2|(3t^(2)+5t-6)-(3t^(2)+5t+2)|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2|-6-2|`
`rArr Delta ABC`का क्षेत्रफल `=4` वर्ग इकाई
अतः `DeltaABC` का क्षेत्रफल t के मान पर निर्भर नहीं करता है ।