`Delta ABC` के शीर्ष `A(4, 6), B(1, 5)` और `C(7, 2)` हैं । यह रेखाखण्ड इस त्रिभुज की भुजा `AB` और `AC` को बिन्दु D और E पर इस प्रकार विभाजित करती है कि `(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=1/4` है ।
`DeltaADE` के क्षेत्रफल को गणना कीजिए तथा इसकी तुलना `Delta ABC` के क्षेत्रफल से कीजिए ।

Explanation

दिया है
`(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=1/4`
`rArr (AB)/(AD)=(AC)/(AE)=4`
`rArr (AD+DB)/(AD)=(AE+EC)/(AE)=4`
`rArr 1+ (DB)/(AD)=1+(EC)/(AE)=4`
`rArr (DB)/(AD)=(EC)/(AE)=3`
`rArr (AD)/(DB)=(AE)/(EC)=1/3`

`rArr AD:DB=AE:EC=1:3`
`rArr` भुजा AB और AC को बिन्दु D और E, 1:3 के अनुपात में विभाजित करते हैं ।
अतः D तथा E के निर्देशांक क्रमशः
`((1+12)/(1+3),(5+18)/(1+3))=((13)/(4), (23)/(4))` तथा `((7+12)/(1+3), (2+18)/(1+3))=((19)/(4), 5)` हैं ।
त्रिभुज ADE के शीर्षों को चार स्तम्भों में निम्न प्रकार से लिखते हैं :

`:.DeltaADE` का क्षेत्रफल `=1/2 |(4xx(23)/(4)+(13)/(4)xx5+(19)/(4)xx6)-((13)/(4)xx6+(19)/(4)+4xx5)|`
`rArr Delta ADE` का क्षेत्रफल `=1/2 |((92)/(4)+(65)/(4)+(114)/(4))-((78)/(4)+(437)/(16)+20)|`
`rArr Delta ADE` का क्षेत्रफल `=1/2 |(271)/(4)-(1069)/(16)|=1/2 xx (15)/(16)=(15)/(32)`वर्ग इकाई
`Delta ABC` के शीर्षों के निर्देशांकों को चार स्तम्भों में निम्न प्रकार से लिखते हैं :

`:. Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |(4xx5+1xx2+7xx6)-(1xx6+7xx5+4xx2)|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |(20+2+42)-(6+35+8)|`
`rArr Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1/2 |64-49|=(15)/(2)` वर्ग इकाई
`:. (DeltaADE"का क्षेत्रफल ")/(Delta ABC "का क्षेत्रफल ")=(15//32)/(15//2)=(1)/(16)`
अतः `Delta ADE` का क्षेत्रफल: `Delta ABC` का क्षेत्रफल `=1:16`