यदि एक त्रिभुज के सभी शीर्षों के निर्देशांक पूर्णाक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समबाहु नहीं हो सकता है ।

Explanation

माना `A(x_(1), y_(1)), B(x_(2), y_(2))`और `C(x_(3), y_(3))` एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं जहाँ `x_(1), y_(1), x_(2), y_(2), x_(3), y_(3)` पूर्णांक हैं ।
माना `Delta`, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को प्रकट करता है ।
`:. Delta=1/2|x_(1)(y_(2)-y_(3))+x_(2)(y_(3)-y_(1))+x_(3)(y_(1)-y_(2))|`
`rArr Delta=`एक परिमेय संख्या है | `" "` [ `:' x_(i), y_(i)` पूर्णांक हैं ]
यदि सम्भवत हो ,तो माना त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है । त्रिभुज ABC को समबाहु मानने पर ,
`Delta=(sqrt(3))/(4) (" भुजा ")^(2)=(sqrt(3))/(4)(AB)^(2) " " [ :' AB=BC=CA]`
`rArr Delta = (sqrt(3))/(4)` (एक धनात्मक पूर्णांक ) `" " [( :' " सभी शीर्ष पूर्णांक हैं "),( :. AB^(2)" एक धनात्मक पूर्णांक है ")]`
`rArr Delta =` एक अपरिमेय संख्या है ।
यह इस तथ्य के विपरीत है कि क्षेत्रफल एक परिमेय संख्या है ।
अतः त्रिभुज समबाहु हो हो सकता है ।