उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्न हैं :
(i) `(6,3), (-3, 5), (4, -2)`
(ii) `(at_(1)^(2), 2 at_(1)), (at_(2)^(2), 2at_(2)), (at_(3)^(2), 3at_(3))`
(iii) `(a, c+a), (a,c), (-a, c-a)`

Answer

(i) `(49)/(2)` वर्ग इकाई (ii) `a^(2)(t_(1)-t_(2))(t_(2)-t_(3))(t_(3)-t_(1)) " " (ii) a^(2)`

Explanation

(ii) माना बिन्दुओं `(at_(1)^(2), 2at_(1)), (at_(2)^(2), 2at_(2))` और `(at_(3)^(2), 2at_(3))` से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल `Delta ` है ।

`:.Delta=1/2|(at_(1)^(2)xx2at_(2)+at_(2)^(2)xx2at_(3)+at_(3)^(2)xx2at_(1))-(at_(2)^(2)xx2at_(1)+at_(3)^(2)xx2at_(2)+at_(1)^(2)xx2at_(3))|`
`rArr Delta=1/2 | (2a^(2)t_(1)^(2)t_(2)+2a^(2)t_(2)^(2)t_(3)+2a^(2)t_(3)^(2)t_(1))-(2a^(2)t_(1)t_(2)^(2)+2a^(2)t_(2)t_(3)^(2)+2a^(2)t_(1)^(2)t_(3))|`
`rArr Delta=a^(2)|(t_(1)^(2)t_(2)+t_(2)^(2)t_(3)+t_(3)^(2)t_(1))-(t_(1)t_(2)^(2)+t_(2)t_(3)^(2)+t_(3)t_(1)^(2))|`
`rArr Delta =a^(2)|(t_(1)^(2)t_(2)-t_(1)^(2)t_(3))+(t_(2)^(2)t_(3)-t_(2)t_(3)^(2))+(t_(3)^(2)t_(1)-t_(1)t_(2)^(2))|`
`rArr Delta = a^(2)|t_(1)^(2)(t_(2)-t_(3))+t_(2)t_(3)(t_(2)-t_(3))-t_(1)(t_(2)^(2)-t_(3)^(3))|`
`rArr Delta= a^(2) |(t_(2)-t_(3)){t_(1)^(2)+t_(2)t_(3)-t_(1)(t_(2)+t_(3))}|`
` rArr Delta = a^(2) |(t_(2)-t_(3)){t_(1)^(2)+t_(2)t_(3)-t_(1)t_(2)-t_(1)t_(3)}|`
`rArr Delta = a^(2)|(t_(2)-t_(3)){(t_(1)^(2)-t_(1)t_(2))-(t_(1)t_(3)-t_(2)t_(3))}|`
`rArrDelta = a^(2) |(t_(2)-t_(3)){t_(1)(t_(1)-t_(2))-t_(3)(t_(1)-t_(2))}|`
`rArr Delta = a^(2)|(t_(2)-t_(3))(t_(1)-t_(2))(t_(1)-t_(3))|`
`rArr Delta = a^(2)|(t_(1)-t_(2))(t_(2)-t_(3))(t_(3)-t_(1))|`
(iii) माना बिन्दुओं `(a, c +a), (a,c)` और `(-a, c-a)` से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल `Delta ` है ।
`:.Delta = 1/2 |{ac+a(c-a)-a(c+a)}-{a(c+a)-ac+a(c-a)}|`
`rArr Delta=1/2 |{ac+ac-a^(2)-ac-a^(2)}-{ac+a^(2)-ac+ac-a^(2)}|`
`rArr Delta = 1/2 |(ac-2a^(2))-(ac)|`
`rArr Delta = 1/2 |-2a^(2)|=a^(2)` वर्ग इकाई