एक कागज के शंकु का शीर्षकोण `2 alpha` तथा उंचाई `3 h` है। इसमें `2h` तथा `h` उंचाई के दो शंकु निहित है जिनके शीर्षकोण क्रमश : `4alpha` तथा `6alpha ` है शंकुओं के बीच में घीरे हुए आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना U , V तथा W क्रमशः शंकुओं VAB ` V_1 A _1B_1 ` तथा ` V_2 A _2B_2 ` के आयतन है| शंकु VAB के लिए दिया गया है|
` " "VO =3h ` तथा OA = 3h ` tan alpha `
` therefore " "U= ( 1)/(3) pi (3htan alpha ) ^(2) xx 3h `
` rArr " " U= (27pi)/( 3) h^(2) tan ^(2) alpha `
शंकु ` V_1 A_1 B_1 ` के लिए दिया गया है|
` " " V_(1) O=2h ` तथा ` OA _ 1 =2h tan alpha `
` therefore " " V= (1)/(3) pi ( 2h tan alpha )^(2) xx 2h `
` rArr " "V= (8)/(3) pi h ^(3) tan ^(2) 2alpha `
शंकु ` V_ 2A_2 B_ 2 ` के लिए दिया गया है|
` " "V_2O =h` तथा ` OA_2 =h tan 3alpha `
` therefore " "W = (1)/(3) pi ( htan 3alpha ) ^(2) xxh `
` rArr " "W = (1)/(3) pi h ^(3) tan 3alpha `
अब,
` " "U-V =( 27)/( 3) h^(3) tan ^(2) alpha -( 8pi)/(3)h^(3) 2 alpha= ( pih^(3))/( 3) ( 27tan ^(2) alpha -8tan ^(2) 2alpha ) `
` " "V-W=(8)/(3) pih^(3) tan ^(2) 2alpha -(pi)/(3) h^(3) tan ^(2) 3alpha =(pih^(3) )/( 3) ( 8tan ^(2) -2alpha -tan ^(2) 3alpha) `
` therefore ` अभीष्ट अनुपात ` (U-V) :(V-W) =( 27tan ^(2) alpha -8tan ^(2) 2alpha ) : ( 8tan ^(2) 2alpha -tan ^(2) 3alpha ) `