यदि दो वास्तविक संख्याएँ `alpha` व `beta` समीकरण को संतुष्ट करती है, तो सिद्ध कीजिए
`cos(alpha+beta)=(a^(2)-b^(2))/(a^(2)+b^(2))`

Explanation

दिया है - `" "a cos x + b sin x = c" ...(i)"`
`rArr" "a cos x = c- b sin x`
`rArr" "a^(2)cos^(2)x=(c-bsinx)^(2)`
`rArr" "a^(2)(1-sin^(2)x)=c^(2)+b^(2)sin^(2)x-2bc sin x`
`rArr" "sin^(2)x(a^(2)+b^(2))-2bc sin x - a^(2)+c^(2)=0" ...(iii)"`
`alpha` व `beta` समीकरण (ii ) को संतुष्ट करती हैं इसलिए `sin alpha` व `sin beta` इसके मूल हैं, तो
मूलों का गुणनफल `=sin alpha sin beta =(-a^(2)+c^(2))/((a^(2)+b^(2)))" ...(iii)"`
पुनः समीकरण (1 ) से
`b sin x = c-a cos x`
`rArr" "b^(2)sin^(2)x=(c-a cos x)^(2)`
`rArr" "b^(2)(1-cos^(2)x)=c^(2)+a^(2)cos^(2)x - 2a c cos x`
`rArr (a^(2)+b^(2))cos^(2)x-2ac cos x - b^(2)+c^(2)=0" ...(iv)"`
अब `cos alpha, cos beta` उपरोक्त समीकरण (iv ) के मूल हैं, तो
मूलों का गुणनफल `=cos alpha cos beta =(-b^(2)+c^(2))/(a^(2)+b^(2))`
तथा`" "cos (alpha+beta)=cos alpha cos beta - sin alpha sin beta`
`=(-b^(2)+c^(2))/(a^(2)+b^(2))-(-a^(2)+c^(2))/(a^(2)+b^(2))=(a^(2)-b^(2))/(a^(2)+b^(2))`
`therefore" "sin(alpha+beta)=sqrt(1-cos^(2)(alpha+beta))=sqrt(1-((a^(2)-b^(2))/(a^(2)+b^(2)))^(2))=(2ab)/(a^(2)+b^(2))`
तथा `" "tan(alpha+beta)=(sin(alpha+beta))/(cos(alpha+beta))=((2ab)/((a^(2)+b^(2))))/(((a^(2)-b^(2)))/((a^(2)+b^(2))))=(2ab)/(a^(2)-b^(2))`