एक `Delta ABC` में , सिद्ध कीजिए कि `(b-c)cot.(A)/(2)+(c-a)cot.(B)/(2)+(a-b)(C)/(2)=0` .

Explanation

sine सूत्र से , `(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=k` (माना)
`rArr a=k sinA,b=k sinB,c=k sinC`
अब , माना
`(b-c)cot.(A)/(2)=k(sinB-sinC)cot.(A)/(2)`
`=2kcos((B+C)/(2))sin((B-C)/(2)).(cosA//2)/(sinA//2)`
`=2k cos((pi)/(2)-(A)/(2))sin((B-C)/(2))(cosA//2)/(sinA//2)`
`2ksin.(A)/(2)sin((B-C)/2).(cosA//2)/(sinA//2)`
`=2ksin((B-C)/(2))cos.(A)/(2)`.
`=2k((B-C)/(2))cos{(pi)/(2)-((B+C)/(2))}`
`=2ksin((B-C)/(2))sin((B+C)/(2))`
`=k (cos C-cosB)`....(i)
इसी प्रकार , `(c-a)cot.(B)/(2)=k(cosA-cosC)` ...(ii)
तथा `(a-b)cot.(C)/(2)=k(cosB-cosA)`
अतः :समीकरण (i),(ii) व (iii) को जोड़ने पर , `(b-c)cot.(A)/(2)+(c-a)cot.(B)/(2)+(a-b).(C)/(2)=k[(cosC-cosB)+(cosA-cosC)+(cosB-cos)]=0`