किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि- `(a^2sin(B-C))/(sinB+sinC)+(b^2sin(C-A))/(sinC+sinA)+(c^2sin(A-B))/(sinA+sinB)=0`

Explanation

बायाँ पक्ष `=(a^2sin(B-C))/(sinB+sinC)+(b2sin(C-A))/(sinC+sinA)+(c^2sin(A-B))/(sinA+sinB)` प्रथम पद `=(a^2sin(B-C))/(sinB+sinC)+(a^2(sinBcosC-cosB sinC))/(sinB+sinC)`
`=(a^2[(2Delta)/(ca)((a^2+b^2-c^2)/(2ab))-((c^2+a^2-b^2)/(2ca))(2Delta)/(ab)])/((2Delta)/(ca)+(2Delta)/(ab))`
`=((Delta)/(bc)[a^2+b^2-c^2-c^2-a^2+b^2])/((2Delta)/(a)[(1)/(c)+(1)/(b)])=((2Delta)/(bc)(b^2-c^2))/((2Delta)/(a)((b+c)/(bc)))`
`=a(b-c)`
इसी प्रकार , द्वितीय पद `=(b^2sin(C-A))/(sinC+sinA)=b(c-a)`
तथा तृतीय पद `=(c^2sin(A-B))/(sinA+sinB)=c(a-b)`
तीनों पदों को जोड़ने पर `(a^2sin(B-C))/(sinB+sinC)+(b^2sin(C-A))/(sinC+sinA)+(c^2sin(A-B))/(sinA+sinB)`
`=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)`
`=ab -ac+bc-ab+ca-bc=0` .