किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि - `(cotA//2+cotB//2+cotC//2)/(cotA+cotB+cotC)=((a+b+c)^2)/(a^2+b^2+c^2)`

Explanation

हम जानते है कि `cot.(A)/(2)+cot.(B)/(2)+cot.(C)/(2)=(s(s-a))/(Delta)+(s(s-b))/(Delta)+(s(s-c))/(Delta)`
`=(s)/(Delta)[3s-(a+b+c)]`
`=(s)/(Delta)[3s-2s]=(s^2)/(Delta)=((a+b+c)^2)/(4Delta)`....(i)
इसी प्रकार `cotA+cotB+cotC=(cosA)/(sinA)+(cosB)/(sinB)+(cosC)/(sinC)`
`=(b^2+c^2-a^2)/(2bcsinA)+(c^2+a^2-b^2)/(2casinB)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab sin C)`
`=(b^2+c^2-a^2)/(4Delta)+(c^2+a^2-b^2)/(4Delta)+(a^2+b^2-c^2)/(4Delta) " "[because Delta=(1)/(2)bc sinA=(1)/(2)casinB=(1)/(2)absinC]`
`=(a^2+b^2+c^2)/(4Delta)`....(ii)
समीकरण (i) व (ii)से , `(cot A//2+cotB//2+cotC//2)/(cotA+cotB+cotC)=((a+b+c)^2)/(a^2+b^2+c^2)`