निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल `a+ib` के रूप में ज्ञात कीजिए
(i) `7-6sqrt(2)i` (ii) `(33+56i)/(4)`

Explanation

(i) माना `sqrt(7-6sqrt(2)i)=a_ib`
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
`7-6sqrt(2)*=(a+ib)^(2)=(a^(2)-b^(2))+(2ab)i`
वास्तविक व काल्पनिक मानो की तुलना करने पर,
`a^(2)-b^(2)=7` . . . (i)
तथा `2ab=-6sqrt(2)` . . .(ii)
`rArr" "b=(-6sqrt(2))/(2a)rArrb^(2)=(18)/(a^(2))`
b का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
`a^(2)-(18)/(a^(2))=7`
`rArr" "a^(4)-7a^(2)-18=0`
`rArr" "(a^(2)-9)(a^(2)+2)=0`
`rArr" "a^(2)-9=0` या `a^(2)+2=0`
`rArr" "a^(2)=9` या `a^(2)=-2`
`because" "a in R :. a^(2)!=-2rArra^(2)=9`
`rArr" "a=pm3`
अब `a=3rArrb=-sqrt(2)`
तथा `a=-3rArrb=sqrt(2)`
इसलिए `sqrt(7-6sqrt(2)i)=3-sqrt(2)i,-3+sqrt(2)i`
(ii) माना `sqrt((33+56i)/(4))=a+ib`
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
`(33+56i)/(4)=(a+ib)^(2)=(a^(2)-b^(2))+2abi`
वास्तविक व काल्पनिक मानो की तुलना करने पर,
`a^(2)-b^(2)=(33)/(4)` . . . (i)
तथा `2ab=14` . . . (ii) समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
`a^(2)-(49)/(a^(2))=(33)/(4)`
`rArr" "4a^(4)-196=33a^(2)`
`rArr4a^(4)-33a^(2)-196=0`
`rArr4a^(4)-49a^(2)+16a^(2)-196=0`
`rArra^(2)(4a^(2)-49)+4(4a^(2)-49)=0`
`rArr" "(4a^(2)-49)(a^(2)+4)=0`
`rArr" "4a^(2)=49` या `a^(2)=-4`
`a^(2)!=-4` इसलिए `" "5a^(2)=49`
`rArr" "a=pm(7)/(2)`
`:." "a=(7)/(2)rArrb=2` तथा `a=-(7)/(2)rArrb=-2`
`:." "sqrt((33+56i)/(4))=(7+4i)/(2),(-7-4i)/(2)`