सिद्ध कीजिए कि `1+omega^(n)+omega^(2n)=0`, यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है जो 3 का गुणांक नहीं है ।

Explanation

(i) हम जानते है कि `omega=(-1+isqrt(3))/(2)` तथा `omega^(2)=(-1-isqrt(3))/(2)`
हम सिद्ध करना चाहते है कि `omega^(n)+omega^(2n)+1=0`, जहाँ n, 3 का गुणांक नहीं है ।
इसलिए `1+omega^(n)+omega^(2n)=((1-omega^(n))(1+omega^(n)+omega^(2n)))/((1-omega^(n)))=(1-omega^(3n))/(1-omega^(n))" "[because1-x^(3)=(1-x)(1+x+x^(2))]`
`=(1-1)/(1-omega^(n))=0" "[because1-omega^(n)!=0`, क्योकि n,3 का गुणक नहीं है इसलिए `omega^(n)!=1]`
इसलिए `1+omega^(n)+omega^(2n)=0`