यदि `x^(2)+x+1=0` तो सिद्ध कीजिए कि -
`(x+(1)/(x))^(2)+(x^(2)+(1)/(x^(2)))^(2)+ . . .+(x^(27)+(1)/(x^(27)))^(2)=54`

Explanation

दिया है : `x^(2)+x+1=0" "rArrx=omega` या `omega^(2)`
माना `x=omega` तब `x+(1)/(x)=omega+(1)/(omega)=omega+omega^(2)=-1" "[because1=omega^(3)]`
`rArr" "x^(2)+(1)/(x^(2))=omega^(2)+(1)/(omega^(2))=omega^(2)+omega=-1" "[because1+omega+omega^(2)=0]`
`x^(3)+(1)/(3)=omega^(3)+(1)/(omega^(3))=2`
इसी प्रकार `x^(4)+(1)/(x^(4))=omega^(4)+(1)/(omega^(4))=omega+(1)/(omega)=omega+omega^(2)=-1 . . .`
इसलिए `(x+(1)/(x))^(2)+(x^(2)+(1)/(x^(2)))^(2)+(x^(3)+(1)/(x^(3)))+ . . . +(x^(27)+(1)/(x^(27)))^(2)`
`=[(x+(1)/(x))^(2)+(x^(2)+(1)/(x^(2)))^(2)+(x^(4)+(1)/(x^(4)))^(2)+ . . . .+(x^(26)+(1)/(x^(26)))^(2)]`
`+[(x^(3)+(1)/(x^(3)))^(2)+(x^(6)+(1)/(x^(6)))^(2)+(x^(9)+(1)/(x^(9)))^(2)+ . . . "(x^(27)+(1)/(x^(27)))^(2)]`
`=18+9(2)^(2)=54`