हल कीजिए -
(i) `(|x+3|+x)/(x+2)gt1` , (ii) `(|x+1|-x)/(|x|)lt1`

Explanation

दिया है : `(|x+3|+x)/(x+2)gt1`
`rArr(|x+3|+x)/(x+2)-1gt0`
`rArr(|x+3|x-x-2)/(x+2)gt0`
`rArr(|x+3|-2)/(x+2)gt0` Case I : जब `x+3ge0rArrxge-3`
तब `|x+3|=x+3`
`therefore(|x+3|-2)/(x+2)gt0rArr(x+3-2)/(x+2)gt0rArr(x+1)/(x+2)gt0`
`rArrx in ]-infty,-2[uu]-1,infty[`
तथा `xge-3` के लिए हल समुच्चय `=[-3,-2[uu]-1,infty[`
Case II : जब `x+3lt0rArrxlt-3`
तब `|x+3|=-(x+3)`
`therefore(|x+3|-2)/(x+2)gt0rArr(-(x+3)-2)/(x+2)gt0`
`rArr(-(x+5))/(x+2)gt0rArr(x+5)/(x+2)lt0`
`rArrx in]-5,-2[` लेकिन `xlt-3` के लिए हल समुच्चय =]-5,-3[
इसलिए ,दी गयी असमिकाओं का हल समुच्चय `=[-3,-2[uu]-1,infty[uu]-5,=3[`
`=]-5,-2[uu]-1,infty[`
(ii) दिया है : `(|x+1|-x)/(|x|)lt1`
`(x+1)=0rArrx=-1` ltbr Case I : जब `xle-1` तब `x+1le0rArr|x+1|=-(x+1)`
`therefore(|x+1|-x)/(|x|)lt1rArr(-(x+1)-x)/(x)lt1`
`rArr(-2x-1)/(x)ltrArr(-2x-1)/(x)-1lt0`
`rArr(-3x-1)/(x)lt0`
`rArr-inftyltxlt-(1)/(3)` या `0ltxlt1`
परन्तु इस स्थिति में `xle-1`
`rArr-inftyltxle-1`
Case II : जब `xgt-1` तब `x+1gt0rArr|x+1|=x+1`
`rArr(|x+1|-x)/(x)lt1rArr(x+1-x)/(x)lt1`
`rArr(1)/(x)lt1rArr(1)/(x)-1lt0`
`rArr(1-x)/(x)lt0`
`rArr-inftyltxlt0` या `1ltxltinfty`
इस स्थिति में `xgt-1`
`therefore-1ltxlt0` या `1ltxltinfty`
इस प्रकार सभी सम्भव मान `=-inftyltxle-1` या `-1ltxlt0` या `1ltxltinfty`
`therefore` हल समुच्चय `=]-infty,0[uu]1,infty[`.