कितनी प्रकार से 3 पुरस्कार, 4 विद्यार्थी में वितरित किये जा सकते हैं ? यदि
(i) कोई विद्यार्थी एक से अधिक पुरस्कार न प्राप्त करे ।
(ii) एक विद्यार्थी कितने भी पुरस्कार प्राप्त कर सकता है ।
(iii)कोई विद्यार्थी सारे पुरस्कार नहीं ले सकता ।

Explanation

(i) पहला पुरस्कार 4 प्रकार से दिया जा सकता है जो चारों में से किसी भी लड़के को दिया जा सकता है । इस प्रकार दूसरा पुरस्कार तीन तरह से दिया जा सकता है । क्योकि जो लड़का पहले पुरस्कार ले चुका है , दोबारा पुरस्कार, नहीं ले सकता । इसी प्रकार तीसरा पुरस्कार शेष दी लड़कों में से भी एक को 2 प्रकार से दिया जा सकता है ।
अतः पुरस्कार देने के कुल प्रकार, `= 4 xx 3 xx 2 = 24`
(ii) उपरोक्त की भाँति पहला पुरस्कार किसी भी लड़के को दिया जा सकता है अर्थात पहला पुरस्कार प्रकार से दिया सकता है|
दूसरा पुरस्कार भी 4 प्रकार दिया जा सकता है, क्योकि इस पुरस्कार को वह लड़का भी प्राप्त कर सकता है, जो पहला पुरस्कार प्राप्त कर चुका हो ।
इसी प्रकार, तीसरा पुरस्कार 4 प्रकार से दिया जा सकता है ।
अतः इसी पुरस्कार देने के कुल प्रकार `= 4 xx 4 xx 4 xx = 64`
(ii) `:'` चारों लड़कों में से कोई भी लड़का तीनों पुरस्कार प्राप्त कर सकता है ।
इसलिए पुरस्कार पाने के कुल प्रकार `= 4` अतः एक लड़का चारों पुरस्कार प्राप्त नहीं कर सकता ।
इसके प्रकार `= 64 - 4 = 60`