सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए सिद्ध कीजिए कि -
`(n!)^(2) le n^(n).n! lt (2n) !`

Explanation

बायाँ पक्ष `:' (n!)^(2) = (n!) (n!)`
`= [1.2.3"…."(n-1).n]n!`
`{:(1len,),(2len,),(3len,),(vdots,),((n-1)len,),(nlen,):}} rArr 1.2.3"...."(n-1).nlen.n.n"....."n`
`rArr n!len^(n) rArr (n!) (n!) le n^(n).n!`
`rArr (n!)^(2) le n^(n).n!`
`(2n)! = 1.2.3."...."(n-1)n(n+1)(n+2) "......."(2n-1)2n`
`= n!(n+1) (n+2) "...."(2n-1) 2n`
`{:(n+1gen,),(n+2gen,),(n+3gen,),(vdots,),(n+(n-1)gtn,),(n+ngtn,):}} rArr (n+1)(n+2)(n+3)"....."(2n-1) (2n) gt n^(n)`
`rArr n!(n + 1 )(n+2) "....."(2n-1) (2n) gt n!n^(n)`
`rArr (2n) ! gt n!n^(n) rArr n!n^(n) lt(2n)!`
समीकरण (i) व (ii) से,
`(n!)^(2) le n^(n) (n!) lt (2n)!`