एक समतल में बिंदु n हैं । p बिन्दुओं को छोड़कर कोई भी तीन बिंदु संरेखीय नहीं हैं । इन बिन्दुओं को मिलाकर (i) भिन्न सरल रेखाओं की , (ii) भिन्न त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

Explanation

(i) हम जानते हैं कि एक सरल रेखा दो बिन्दु के युग्मों को मिलाने से बनती है ।
`:. n` बिन्दुओं को युग्म के रूप में मिलाने पर बनाने वाली सरल रेखाओं की संख्या`= C_(2)^(n)`
`:. p` बिन्दु संरेख हैं
`:. ""^(p)C_(2)` सरल रेखाओं के स्थान पर हम केवल एक सरल रेखा मानेगें जिस पर ये बिन्दु स्थित हैं ।
`:.` कुल सरल रेखाओं की संख्या `= ""^(n)C_(2) - ""^(n)C_(2) + 1`
`= (n(n-1))/(2xx1) - (p(p-1))/(2xx1)+1`
`= 1/2[n^(2) - n- p^(2) + p + 2]`
(ii) हम जानते हैं की तीन अरेखीय बिन्दुओं से मिलकर एक त्रिभुज बनता है ।
`:.n` बिन्दुओं से बिन्दु लेकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या `= ""^(n)C_(3)`
क्योकि p बिन्दु संरेखीय हैं इसलिए `""^(p)C_(3)` त्रिभुज हम छोड़ेंगे ।
`:.` वांछित त्रिभुजों की संख्या `= ""^(n)C_(3) - ""^(p)C_(3) = 1/6 [n(n-1)(n-2)-p(p-1)(p-2)]`