(i) n भुजाओं वाले बहुभुज में कितने विकर्ण होंगे ?
(ii) एक बहुभुज में यदि 44 विकर्ण हों, तब इसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए ।

Explanation

(i) एक n भुजाओं वाले बहुभुज में n शीर्ष होते हैं । किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ने पर या तो एक भुजा या बहुभुज का विकर्ण प्राप्त होता है ।
`:.` कुल सरल रेखाओं की संख्या जब शीर्षों में से कोई दो जोड़े जाते हैं `= ""^(n)C_(2) = (n(n-1))/(2)`
इन रेखाओं में बहुभुज की n भुजाएँ भी शामिल हैं ।
`:.` बहुभुज के विकर्णों की वांछित संख्या `= (1)/(2) n(n-1) = 1/2 n(n-3)`
(ii) माना किसी बहुभुज की भुजाओं की संख्या n हैं ।
तब उपरोक्त खण्ड (i) से विकर्णों की कुल संख्या `= (1)/(2) n(n-3)`
प्रश्नानुसार `1/2 n(n-3) = 44`
`rArr n^(2) - 3n - 88 = 0`
`rArr (n-11) (n+8) = 0`
`rArr n = 11 " "( :' n ne -8)`
इसलिए इस बहुभुज की 11 भुजाएँ होंगी ।