सिद्ध कीजिये कि ` ( 1 + x ) ^ (2n) ` के विस्तार के मध्य पद का गुणक ` ( 1 + x ) ^ ( 2n - 1 ) ` के विस्तार के मध्य पदों के गुणकों के यो के बराबर होता है |

Explanation

उपरोक्त उदाहरण से ` ( 1 + x ) ^ ( 2n )` का मध्य पद
` T_ ( n + 1 ) = ""^ (2n ) C _ n * x ^ n" " `...(i)
` therefore ( 1 + x ) ^(2n ) ` के मध्य पद का गुणांक = `""^2nC _ n `
अब ` ( 1 + x ) ^ (2n - 1) ` के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है|
यहाँ ` 2n - 1 ` एक विषम संख्या है, इसलिए विस्तार के दो मध्य पद होंगे |
अर्थात ` [ ( ( 2n - 1 )+ 1 ) /( 2 ) ] ` वां तथा ` [ ((2n - 1 ) + 1 ) /( 2 ) + 1 ] ` वां पद
अर्थात n वां तथा ` ( n + 1 ) ` वां पद
इसलिए ` T _ n = T _ (( n - 1 ) + 1 ) = ""^( 2n - 1 ) C _ ( n - 1 ) * 1^ ( ( 2n - 1 )- (n - 1 )) * x ^ ( n - 1 ) =""^( 2n - 1 ) C_ (n - 1 ) * x ^( n - 1 ) `
तथा ` T _ ( n + 1 ) = ""^( 2n - 1 ) C _ n * ( 1 ) ""^(( 2n - 1 ) - n ) * x ^n = ""^( 2n - 1 ) C _ n * x ^n `
दोनों मध्य पदों के गुणांकों का योग = `""^(2n - 1 ) C _ (n - 1) + ""^ ( 2 n - 1 ) C _ n `
` = ""^( ( 2n - 1 ) + 1 ) C _ n = ""^( 2n ) C_ n " " ` ... (ii)
समीकरण (i ) व (ii ) से सिद्ध होता है कि ` ( 1 +x ) ^ (2n ) ` के विस्तार के मध्य पद का गुणक ` (1 + x ) ^( 2n - 1 ) ` के विस्तार के मध्य पदों के गुणकों के योग के बराबर होता है |