` ( 1 + x ) ^n ` के विस्तार में यदि `r ` वें , `(r +1)` वें तथा `(r +2)` वें पद के गुणांक समांतर श्रेणी में हो, तो सिद्ध कीजिये कि ` n^ 2 - n ( 4r + 1 ) + 4 r ^ 2 - 2 = 0 `

Explanation

यहां ` T _ ( r + 1 ) = ""^ n C_ r x^ r ` तथा ` x ^ r ` का गुणांक = ` ""^ n C _ r `
प्रश्नानुसार, ` ""^ n C _ ( r - 1), ""^ n C _ r ` तथा `""^n C _ ( r + 1 ) `, समांतर श्रेणी में है |
इसलिए ` ""^ n C _ ( r - 1 ) + ""^ C _ ( r + 1 ) = 2 * ""^ n C _ r `
` rArr ( n! ) /( ( r - 1 ) ! ( n - r + 1) ! )+ ( n!) /( ( r + 1 ) ! ( n - r - 1 ) ! ) = ( 2xx n! ) /( r! ( n - r ) ! ) `
` rArr ( 1 ) /(( r - 1 ) ! ( n - r - 1 ) ! ) [ ( 1 ) /( (n - r ) (n - r +1 ) ) + ( 1 ) /( r ( r + 1 )) ] = ( 2 ) /(( r - 1 ) ! ( n - r - 1) ! [ r ( n - r ) ] ) `
` rArr ( 1 ) /(( n - r ) ( n - r + 1 ) ) + (1 ) /( r (r + 1 ) ) = ( 2 ) /( r (n - r ) ) `
` rArr r ( r + 1 ) + ( n - r ) (n - r + 1 ) = 2 (n - r + 1 ) ( r + 1 ) `
` rArr r^ 2 + r + n^ 2 - 2nr + r ^ 2 + n - r = 2 (nr + n - r ^ 2 + 1 ) `
` rArr n ^ 2 - 4 nr + 4r^ 2 - n - 2 = 0`
` rArr n ^ 2 - n ( 4 r + 1 ) + 4 r ^ 2 - 2 = 0 `