` ( 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3) ^n ` के विस्तार में सिद्ध कीजिये कि ` x ^ 4 ` का गुणांक `""^ nC_ 4 + ""^ nC _ 2 + ""^ nC _ 1 * ""^ n C _ 2 ` होगा |

Explanation

(i) ` ( 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 ) ^n = ( 1 + x ) ^n ( 1 + x ^ 2 ) ^n `
` = ( C _ 0 + C _ 1 x + C_ 2 x ^ 2 + C _ 3 x ^ 3 +C _ 4 x^ 4 + ... ) ( C _ 0 + C _ 1 x ^ 2 + C _ 2 ( x ^ 2 )^ 2 + ... ) `
` rArr x ^ 4 ` का गुणांक = ` C _ 0 C _ 2 + C _2 C _ 1 + C _ 4 C _ 0 `
` = ""^n C _ 2 + ""^n C _ 2 * ""^ nC _ 1 + ""^n C _ 4 `
(ii) सरल करने पर,
` T _ ( r + 1 ) = ""^ (21 ) C _ r a ^ (7 - (r )/(2 )) b ^ ((2r )/(3 ) - (7 ) / (2 ) ) `
a व b की घात बराबर होने के लिए
` 7 - ( r ) /(2) = (2r ) /(3 ) - (7 )/( 2 ) rArr r = 9 `
इसलिए ` (9 + 1 ) = 10 ` वां पद वांछित पद है |