` ( 1 + x ) ^n ( 1 - x ) ^n ` के प्रसार में ` x ^ 4 ` का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा इससे सिद्ध कीजिए कि -
` C _ 2 = C _ 0 C _ 4 - C _ 1C_ 3 + C _ 2 C_ 2 - C _ 3 C _ 1 +C _ 4 C _ 0 `

Explanation

` ( 1 + x) ^n ( 1 - x ) ^n = ( C _ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 + … + C _ n x ^n ) ( C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + … + ( - 1 ) ^n C _ n x ^n ) `
` rArr ( C _ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x^ 2 + C _ 3 x ^ 3 + ... + C_ n x^n ) ( C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + ... + ( - 1 ) ^n C _ n x^n ) `
दाँये पक्ष में ` x ^ 4 ` का गुणांक = ` C _ 0 C _ 4 - C _ 1 C_ 3 + C _ 2 C_ 2 - C _ 3 C _ 1 +C_ 4C _ 0 `
तथा ` ( 1 + x) ^n ( 1 - x ) ^n = (1 - x ^ 2 )^n = ""^ n C _ 0 - ""^ n C _ 1 x ^ 2 + ""^ n C _ 2 x ^ 4 - ""^n C _ 3 x^ 6 + ... + ( - 1 ) ^n C _ n x ^ (2n ) `
इसलिए, `x^ 4 ` का गुणांक = ` ""^n C_ 2 = C _ 2 `
इसलिए ` C _ 0 C _ 4- C _ 1 C _ 3 + C_ 2 C_ 2 - C _ 3C_ 1 + C _ 4 C _ 0 =C _ 2 `