किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम m पदों का योग तथा उसके प्रथम n पदों का योग `m^(2):n^(2)` अनुपात में हैं | सिद्ध कीजिए कि उसका सार्वअन्तर उसके पहले पद से दोगुना हैं तथा m वें व n वें पदों का अनुपात `2m-1:2n-1` हैं

Explanation

माना समान्तर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है |
प्रश्नानुसार
`((m)/(2)[2a+(m-1)d])/((n)/(2)[2a+(n-1)d])=(m^(2))/(n^(2))`
`rArr " " (2a+(m-1)d)/(2a+(n-1)d)=(m)/(n)`
`rArr "
"2an+(mn-n)d=2am+(mn-m)d`
`rArr " "2an-2am=(mn-m)d-(mn-n)d`
`rArr " "(n-m)2a=(m-m)d`
`rArr " "2a=d`
अर्थात समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर उसके प्रथम पद से दोगुना हैं |
तथा `" " (a_(m))/(a_(n))=(a+(m-1)d)/(a+(n-1)d)=(a+(m-1).2a)/(a+(n-1).2a)`
`=(1+2(m-1))/(1+2(n-1))=(1+2m-2)/(1+2n-2)=(2m-1)/(n-1)`
`rArr " "a_(m):a_(n)=(2m-1):(2n-1)`