यदि `(b-c)^(2),(c-a)^(2),(a-b)^(2)`समान्तर श्रेणी में हैं, तो सिध्द कीजिए `(1)/(b-c),(1)/(c-a),(1)/(a-b)` समान्तर श्रेणी में हैं |

Explanation

`:'(b-c)^(2),(c-a)^(2),(a-b)^(2)` समान्तर श्रेणी में हैं
`2(c-a)^(2)=(b-c)^(2)+(a-b)^(2)`
`2c^(2)+2a^(2)-4ca=b^(2)+c^(2)-2bc+a^(2)+b^(2)-2ab" "`...(i)
अब यदि `(1)/(b-c),(1)/(c-a),(1)/(a-b)`समान्तर श्रेणी में हैं तब
`(2)/(c-a)=(1)/(b-c)+(1)/(a-b)` समान्तर श्रेणी में हैं तब
`(2)/(c-a)=(1)/(b-c)+(1)/(a-b)=(a-b+b-c)/((a-b)(b-c))`
`(2)/((c-a))=((a-c))/((a-b)(b-c))`
`2(a-b)(b-c)=(a-c)(c-a)`
`2(ab-ac-b^(2)+bc)=ac-a^(2)-c^(2)+ac`
`2ab-2ac-2b^(2)+2bc=2ac-a^(2)-c^(2)`
`c^(2)+A^(2)-2b^(2)-4ca+2bc+2ab=0`जो समीकरण (i)ही है |
इसलिए यदि `(b-c)^(2),(c-a)^(2),(a-b)^(2)` समान्तर श्रेणी में हैं तो
`(1)/(b-c),(1)/(c-a),(1)/(a-b)` भी समान्तर श्रेणी में होंगे |