किसी दिये गये वर्ग की भुजा 10 सेमी है, एवं उसकी भुजाओ का मध्य बिन्दु के जोड़ से एक न्य वर्ग बनता है, पुनः इस नये वर्ग के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने से एक दूसरा वर्ग बन जाता है | यह प्रक्रिया अनन्त बार निरन्तर की जाती है तब क्षेत्रफलों का योगफल तथा वर्गो की परिधियों का योगफल ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना ABCD एक दिया गया वर्ग है | जिसकी प्रत्येक भुजा 10 सेमी है | माना E,F,G,H भुजाओं AB,BC,CD व DA के क्रमशः मध्य बिन्दु हैं एवं माना भुजाओं EF,FG,GH व HE के मध्य बिन्दु क्रमशः P,Q,R व S हैं, तब
BE=BF=5 सेमी
`:. EF=sqrt(BE^(2)+BF^(2))=sqrt(25+25)=sqrt(50)=5sqrt(2)`सेमी
एवं `FQ=FP=(1)/(2)EF=(5sqrt(2))/(2)=(5)/(Sqrt(2))`सेमी
तथा `PQ=sqrt(FP^(2)+FQ^(2))=sqrt((25)/(2)+(25)/(2))=sqrt(25)=5`सेमी
अब
(i)निर्मित वर्गो के क्षेत्रफलों का योगफल `={(10)^(2)+(5sqrt(2))^(2)+5^(2)+..oo}सेमी^(2)`
`=(100+50+25+...oo)`
`=(100)/(1-(1)/(2))`(अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल)
`=200 सेमी^(2)`
(ii)दिये गये वर्गो की परिधियों का योगफल `=(40+20sqrt(2)+20+...oo)`
`=(40)/(1-(1)/(sqrt(2)))=(40sqrt(2))/(sqrt(2)-1)=(80+40sqrt(2))`सेमी