(a ) समांतर रेखाओं ` ax+ by +c=0` तथा `ax +by + d=0 ` के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए|
(b) सिद्ध कीजिए की समांतर रेखाओं `ax+ by +c=0 ` तथा ` k(ax+by)+d=0` के बीच की दुरी ` (c-d//k)/(sqrt(a^(2) +b^(2)) ) ` है|

Explanation

दिया है: ` " "ax+ by +c=0" "...(i)`
` " "ax+ by +d=0" "...(ii)`
माना रेखा (i) पर के बिंदु `P(h,k) ` है|
तब ` " "ah +bk +d=0 `
`rArr " "ah+ bk =-c " "...(iii)`
स्पष्टतः समांतर रेखाओं (i ) व (ii ) के बीच की दुरी = किसी एक रेखा पर एक बिंदु की दूसरी रेखा से दुरी `= P(h,k)` से रेखा (ii ) पर डाले गये लम्ब PQ की लम्बाई
` =|(ah+bk+d)/( sqrt(a^(2)+ b^(2)) )|= | (d-c) /(sqrt(a^(2) +b^(2)))|=(|d-c|)/(sqrt(a^(2) +b^(2)) )`

(b) दी गयी सरल रेखाओं के समीकरण
` " "ax+ by +c=0`
व ` " "k(ax+by)+ d=0`
`rArr " "ax +by +(d)/(k) =0`
मूलबिंदु से सरल रेखा ` ax +by +c=0 ` पर डाले गये लम्ब की लम्बाई
` " "p_1 =(axx0+bxx0+c)/(sqrt(a^(2) +b^(2)))=(c)/(sqrt(a^(2) +b^(2)))`
और मूलबिंदु से सरल रेखा ` ax+ by +(d)/(k) =0` पर डाले गये लम्ब की लम्बाई
` " "p_2 (axx0+ bxx0+(d)/(k))/(sqrt(a^(2) +b^(2))) =(d//k)/(sqrt(a^(2)+b^(2)))`
अतः दोनों रेखाओं के बीच की दुरी
` " "p= p_1 -p_2`
` " " =(c)/(sqrt(a^(2) =b^(2)) )- (d//k)/(sqrt(a^(2)+b^(2)))`
`" "= (c-d//k)/(sqrt(a^(2) +b^(2)))" "` यही सिद्ध करना था|