किसी चर बिंदु `P(x_1,y_1)` के रेखाओं ` x+y -5=0` तथा `3x-2y +7=0` से दूरियों का योग सदैव 10 रहता है| सिद्ध कीजिए की P का पथ सरल रेखा है|

Explanation

दी गयी रेखाओं का समीकरण
` " "x+ y-5=0 `
तथा ` " "3x -2y +7=0`
माना बिंदु ` P(x_1,y_1)` के रेखा (i ) दुरी `p_1` है,तब
` " "p_1 =(x_1+y_1 -5)/(sqrt(1+1))=( x_1+y_1-5)/(sqrt(2))" "...(iii)`
इसी प्रकार यदि रेखा (ii ) की बिंदु ` P(x_1,y_1 ) ` से दुरी `p_2 ` है तब
` " " p_2 =(3x_1-2y_1+7)/(sqrt(3^(2) +2^(2)) ) =(3x_1-2y_1+7)/(sqrt(13))" "...(iv)`
दिया है : ` " "p_1 +p_2 =10 " "...(v)`
समीकरण (v ) में समीकरण (iii ) व (iv ) का प्रयोग करने पर,
` " "(x_1+ y_1 -5)/sqrt(2)+ (3x_1-2y_1 +7)/(sqrt(13) ) =10 `
`rArr" "sqrt(13) (x_1+y_1-5) +sqrt(2)(3x_1 -2y_1+7) =10 sqrt(26) `
`rArr" "(sqrt(13) +3sqrt(2))x_1 +(sqrt(13) -2sqrt(2)) y_1 + 7sqrt(2) -5sqrt(13)-10 sqrt(26) =0`
जोकि स्पष्टतः एक सरल रेखा का समीकरण है|
`rArr` बिंदु `P(x_1,y_1)` का पथ एक सरल रेखा होगी|