सिद्ध कीजिए की रेखाएं ` (x)/(a) +(y)/(b) =1 , ( x)/(a) +(y)/(b) =1` तथा `(x)/(a) +(y)/(b) =2` व ` (x)/(a) +(y)/(a) =2` से बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते है|

Explanation

दी गयी रेखाओं के समीकरण
` " "(x)/(a) +(y)/(b) -1 =0 " "...(i) `
तथा `" " (x)/(b) +(y)/(a) -1 =0" "...(ii)`
` " "(x)/(a) +(y)/(a) -2 =0 " "(iv)`
समीकरण (i ) -समीकरण (ii ) ltBrgt `rArr" " x((1)/(a)- (1)/(b)) +y ((1)/(b) -(1)/(a)) =0`
`rArr" "((1)/(a) -(1)/(b)) (x-y)=0 `

`rArr" "x=y`
यह मान समीकरण (i ) में रखने पर,
` " "x((1)/(a) +(1)/(b)) =1 `
`rArr" " x= (ab)/(a+b) ` तथा ` y= (ab)/(a+b) " "...(v)`
`therefore " "B ` के निर्देशांक `= ((ab)/(a+b) ,(ab)/(a+b)) `
इसी प्रकार समीकरण (iii ) -समीकरण (iv )से,
` " "x((1)/(a),(1)/(b)) +y ((1)/(a) -(1)/(b)) =0 `
`rArr " "x=y `
`therefore " " D ` के निर्देशांक `= ((2ab)/(a+b) ,(2ab)/(a+b))`
अब समीकरण (ii ) को `(1)/(b)` से तथा (iii ) को `(1)/(a)` से गुना करके इन्हे घटाने पर
` " " x ((1)/(b^(2))-(1)/(a^(2)))= (1)/(b) -(2)/(a) `
`rArr " " x ((a^(2) -b^(2))/(a^(2)b^(2)))=(a-2b)/(ab )`
`rArr" "x=(ab(a-2b))/(a^(2)- b^(2))" "...(iv)`
अब समीकरण (ii ) से ` " " (y)/(a) =1 -(x)/(b) =1 -(a(a-2b))/(a^(2)-b^(2) )= (2ab-b^(2))/(a^(2)-b^(2))`
`rArr " " y=(ab(2a-b))/(a^(2) -b^(2))`
` therefore " "C` के निर्देशांक `= ((ab(a-2b))/( a^(2) -b^(2)) ,(ab(2a-b))/(a^(2)-b^(2)))`
समीकरण (vii ) व a व b के मान परस्पर बदलने पर
` " " A -= ((ab(b-2a) )/(b^(2)- a^(2)),(ab(2b-a))/(b^(2) -a^(2)))`
`" "-= ((ab(2a-b))/(a^(2) -b^(2) ),(ab(a-2b))/(a^(2)-b^(2))) `
`therefore " "AC ` की प्रवणता ` " "= (a^(2) -b^(2)) /((ab)/(a^(2)-b^(2) )(2a-b-a+2b))=-1=m_1 ` (माना)
तथा `" "BD` की प्रवणता `=(a+b)/((ab)/(a+b) )=1=m_2 ` (माना )
स्पष्टतः ` " " m_1m_2 =-1`
`rArr` AC ,BD को `90^(@)` पर काटती है|