(a) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिंदु से होकर जाता है तथा x व y -अक्षों की धनात्मक दिशा से क्रमशः 6 तथा 8 इकाई के अन्तःखण्ड काटता है।
(b) उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिंदु से गुजरता है और x व y -अक्ष पर धन दिशा में क्रमशः 3 व 4 मात्रक का अन्तःखण्ड काटता है।

Explanation

(a) प्रश्नानुसार, `OA=6" "implies" "OL=3`
`OB=8" "implies" "OM=4`
`implies LH=4` तथा `H equiv H(3, 4)`
अब, वृत्त की त्रिज्या `=OH`
`=sqrt((3-0)^(2)+(4-0)^(2))`
`=sqrt(25)=5` इकाई
`:.` वृत्त का समीकरण `(x-3)^(2)+(y-4)^(2)=(5)^(2)`
`implies x^(2)+y^(2)-6x-8y=0`,
यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।

(b) माना वृत्त धन दिशा में x -अक्ष से `OA = 3` तथा y -अक्ष से `OB = 4` के अन्तःखण्ड काटता है।
बिंदु A के निर्देशांक `=(3, 0)`
तथा बिंदु B के निर्देशांक `=(0, 4)`
माना वृत्त का समीकरण
`x^(2)+y^(2)+2gx+2 fy +c=0` ...(i)
`:'` वृत्त (i) बिंदु `(0, 0)` से होकर जाता है। अतः
`0+0+2gxx0+2fxx0+c=0`
`implies c=0` ...(ii)
इसी प्रकार वृत्त (i) बिंदु `(3, 0)` व `(0, 4)` से भी होकर जाता है इसलिए
`(3)^(2)+(0)^(2)+2g(3)+2f (0)+c=0`
`implies 6g+c=-9` ...(iii)
तथा `(0)^(2)+(4)^(2)+2g(0)+2f (4)+c=0`
`implies 8f+c=-16` ...(iv)
समीकरण (ii), (iii) व (iv) को हल करने पर
`g=-3/2, f=-2, c=0`
ये सभी मान समीकरण (1) में रखने पर
`x^(2)+y^(2)+2(-3/2) x+2(-2)y+0=0`
`implies x^(2)+y^(2)-3x-4y=0`