आयत ABCD के परिवृत्त के व्यास का समीकरण `4y=x+7` है। यदि A तथा B क्रमशः बिंदु `(-3, 4)` तथा `(5, 4)` हैं, तो आयत का क्षेत्रफल तथा वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Explanation

प्रश्नानुसार, `A equiv A(-3, 4), B equiv B (5, 4)`
माना AB का मध्य बिंदु P है, इसलिए P के निर्देशांक
`=((-3+5)/2, (4+4)/2)=(1, 4)`
`:.` रेखा AB का समीकरण
`y-4=(4-4)/(-3-5) (x+3)`
`implies y=4`
`implies` रेखा AB, x -अक्ष के समान्तर है इसलिए AB का लम्बार्द्धक y -अक्ष के समान्तर होगा तथा, यह लम्बार्द्धक बिंदु `P (1, 4)` से होकर जाता है, इस प्रकार इसका समीकरण `x = 1` होगा।
दिया है: वृत्त के व्यास का समीकरण
`4y=x+7` ...(i)
समीकरण (i) में `x =1` रखने पर,
`y=2`
`:. H equiv H (1, 2)`
अब, बिंदु H से रेखा AB पर डाले गए लम्ब की लम्बाई
`HP =sqrt((1-1)^(2)+(4-2)^(2))=2` इकाई
`HP=sqrt((1-1)^(2)+(4-2)^(2))=2` इकाई
`implies` आयत की एक भुजा `AD=2.HP=2.2=4`
आयत की दूसरी भुजा `AB=sqrt((-3-5)^(2)+(4-4)^(2))=8`
इस प्रकार, आयत का क्षेत्रफल `=4xx8=32` वर्ग इकाई
अब, वृत्त की त्रिज्या `=sqrt((AP)^(2)+(HP)^(2))`
`=sqrt(4^(2)+2^(2))=sqrt(20)`
`implies` वृत्त का समीकरण `(x-1)^(2)+(y-2)^(2)=20`
`implies x^(2)+y^(2)-2x-4y-15=0`