वृत्त `(x cos alpha+y sin alpha-a)^(2)+(x sin alpha-y cos alpha-b)^(2)=k^(2)` का केंद्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया है: `(x cos alpha+y sin alpha-a)^(2)+(x sin alpha-y cos alpha -b)^(2)=k^(2)`
`implies x^(2) cos^(2) alpha+y^(2) sin^(2) alpha+a^(2)+2xy cos alpha sin alpha -2a cos alpha.x -2a sin alpha.y+x^(2) sin^(2) alpha+y^(2) cos^(2) alpha+b^(2)-2xy cos alpha sin alpha-2b sin alpha.x+2b cos alpha.y=k^(2)`
`implies x^(2) (cos^(2) alpha+ sin^(2) alpha) +y^(2) (cos^(2) alpha+ sin^(2) alpha)-2 (a cos alpha + b sin alpha) x-2 (a sin alpha-b cos alpha)y+a^(2)+b^(2)-k^(2)=0`
`implies x^(2)+y^(2)-2(a cos alpha+ b sin alpha) x-2 (a sin alpha- b cos alpha) y+a^(2) +b^(2)-k^(2)=0` ...(i)
माना वृत्त (i) के केंद्र के निर्देशांक (u, v) हैं, तब
`u=a cos alpha +b sin alpha` ...(ii)
`v=a sin alpha-b cos alpha` ...(iii)
`implies` वृत्त (i) का केंद्र `=(a cos alpha+b sin alpha, a sin alpha-b cos alpha)`
अब समीकरण (ii) व (iii) से,
`u^(2)+v^(2)=a^(2)+b^(2)`
`:.` वृत्त (i) की त्रिज्या `=sqrt(u^(2)+v^(2)-(a^(2)+b^(2)-k^(2)))`
`=sqrt(a^(2)+b^(2)-(a^(2)+b^(2)-k^(2)))=sqrt(k^(2))=k`