सिद्ध कीजिए कि उस परवलय का समीकरण जिसका शीर्ष और नाभि, मूल बिन्दु से क्रमशः `a_(1)` व `a_(2)` दूरियों पर हैं, यह है `y^(2) = 4(a_(2) -a_(1))(x-a_(1))`

Explanation

माना परवलय का शीर्ष A व नाभि S है।
तब
`OA = a_(1) , OS = a_(2)`
`rArr" "AS = OS - OA`
`=a_(2) - a_(1)`
`rArr` शीर्ष A के निर्देशांक ` = (a_(1),0)`
तथा नाभि के निर्देशांक`= (a_(2) ,0)`
अब, माना AS परवलय का अक्ष है, जिसका समीकरण = 0 है।
यहाँ `SA = AZ = a_(2) - a_(1)`
`rArr " "OZ = OA - ZA`
`=a_(1) - (a_(2) -a_(1))`
`=2a_(1) -a_(2)`
अब Z से होकर रेखा ZM खींचे यह रेखा परवलय के अक्ष पर लम्ब है तो ZM परवलय की नियता होगी और इस नियता का समीकरण `" "x = 2a_(1) -a_(2)`
`rArr" "x -2a_(1) +a_(2) = 0`
माना इस परवलय पर कोई बिन्दु P =P (x, y ) है।
यदि P से नियता पर PM लम्ब है तब परिभाषानुसार,
`PS = PM`
`rArr" "sqrt((x-a_(2))^(2) +(y -0)^(2))=x-2a_(1) -a_(2)`
`rArr" "(x-a_(2))^(2)+y^(2) =(x-2a_(1) +a_(2))^(2)`
`rArr" "y^(2) = (x-2a_(1) +a_(2))^(2) -(x-a_(2))^(2)`
`rArr" "y^(2) = 4(a_(2) -a_(1)) (x-a_(1))` यही परवलय का अभीष्ट समीकरण है।