उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र `(2, -3),` एक नाभि `(3, -3)` तथा एक शीर्ष `(4, -3)` है |

Explanation

प्रश्नानुसार, दीर्घवृत्त का केन्द्र `C -= C(2,-3)`
नाभि `S -= S(3, -3)`
तथा `" "` शीर्ष `A -= A(4, -3)`
इसलिए `CA = sqrt((4-2)^(2) + (-3+3)^(2)) rArr a = 2`
तथा `CS = sqrt((3-2)^(2) + (-3+3)^(2))`
` = 1`
`rArr ae = 1`
`rArr e = (1)/(a) = (1)/(2)`
माना नियता दीर्घाक्ष से Q पर मिलती है |
तब `(AS)/(AQ) = e = (1)/(2)`
माना Q के निर्देशांक `(h, k)` है |
`SA : AQ = e : 1 = 1 :2`
`rArr A, SQ` को `1:2` के अनुपात में आंतरिक विभाजित करता है |
`therefore A = ((h+6)/(3), (k-6)/(3))`
`rArr (h+6)/(3) = 4, (k-6)/(3) = -3`
`rArr h = 6, k = -3`
`therefore Q -= Q(6, -3)`
क्योकि CA का ढाल = 0
`rArr` नियता y-अक्ष के समांतर होगी तथा `Q(6,-3)` से होकर जायेगी |
`therefore` नियता का समीकरण `x = 6 rArr x -6 = 0`
यदि `P(x, y)` दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु है तथा तथा PN बिन्दु P से नियता पर लम्ब की लम्बाई है |
`e = (1)/(2) = (PS)/(PN) = (sqrt((x-3)^(2) + (y+3)^(2))/(|(x-6)/(sqrt(1))|)`
`(1)/(4) = ((x-3)^(2) + (y+3)^(2))/((x-6)^(2))`
`rArr (x-6)^(2) = 4[(x-3)^(2) + (y+3)^(2)]`
`rArr x^(2) - 12x + 36 = 4(x^(2) - 6x + 9 + y^(2) + 6y + 9)`
`rArr 3x^(2) + 4y^(2) - 12x + 24y + 36 = 0, " "` यही दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है |