उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र `(1, 2)` एक नाभि `(6, 2)` है तथा वह बिन्दु `(4, 6)` से होकर जाता है |

Explanation

प्रश्नानुसार, नाभि `S -= S(6,2)`
केन्द्र `C -= C(1,2)`
`rArr ` CS की प्रवणता ` = (2-2)/(1-6) = 0`
`rArr` दीर्घवृत्त का दीर्घाक्ष x-अक्ष के समान्तर है तथा लघु अक्ष y-अक्ष के समान्तर है, दिया है की दीर्घवृत्त का केन्द्र `(1,2)` है |
इसलिए अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण
`((x-1)^(2))/(a^(2)) + ((y-2)^(2))/(b^(2)) = 1 " "...(i)`
बिन्दु (4,6) दीर्घवृत्त (i) पर स्थित है, इसलिए
`((4-1)^(2))/(a^(2)) + ((6-2)^(2))/(b^(2)) = 1`
`rArr (9)/(a^(2)) + (16)/(b^(2)) =1 " "...(ii)`
यहाँ, केन्द्र (1,2) व नाभि (6, 2) के बीच की दुरी ` = sqrt((6-1)^(2) + (2-2)^(2)) = ae`
`rArr 5 = ae`
`therefore b^(2) = a^(2) (1-e^(2))`
` = [a^(2) - (ae)^(2)]`
`rArr b^(2) = a^(2) = 25 " "...(iii)`
समीकरण (iii) का प्रयोग समीकरण (ii) में करने पर,
`(9)/(a^(2)) + (16)/((a^(2) - 25))=1`
`rArr a^(4) - 50a^(2) + 225 = 0`
`rArr (a^(2) - 45) (a^(2)-5) = 0`
`rArr a^(2) = 45, 5`
यदि `a^(2) = 5`, तब समीकरण (iii) से `b^(2) lt 0` जोकि सम्भव नहीं है |
`therefore a^(2) = 45`
व `b^(2) = a^(2) = 25`
` = 45 - 25 = 20`
अतः `a^(2)` व `b^(2)` के मान समीकरण (i) में रखने पर
`((x-1)^(2))/(45) + ((y-2)^(2))/(20)l = 1,` यही दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है |