बिंदुओं P,Q,R,S के निर्देशांक क्रमशः (4,7,8), (-1,-2,1) , (2,3,4) तक (1,2,5) हैं । सिद्ध कीजिए कि PQ तथा RS प्रतिच्छेद करते हैं तथा प्रतिच्छेदन बिंदु भी ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना रेखाएँ PQ तथा RS एक - दूसरे को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं ।
यदि A,PQ को `lamda_(1) : 1` के अनुपात में अन्तः विभाजित करता हैं तब
A `-= ((-lamda_(1))/(lamda_(1) +1) , ( -2lamda_(1) + 7)/(lamda_(1) + 1) , (lamda_(1) + 8)/(lamda_(1) + 1))` ....(i)
अब माना A, रेखाखण्ड RS को `lamda_(2) : 1` के अनुपात में विभाजित करता हैं ।
तब A`= ((lamda_(2) + 2)/(lamda_(2) + 1))` ....(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
`(lamda_(1) + 4)/(lamda_(1) + 1) = (lamda_(2) + 2)/(lamda_(2) + 1) , (-2lamda_(1) +7)/(lamda_(1) +1) = (2lamda_(2) +3)/(lamda_(2) + 1)`
तथा `(lamda_(1) + 8)/(lamda_(1) + 1) = (5 lamda_(2) + 4)/(lamda_(2) + 1)`
उपरोक्त समीकरण को हल करने पर
`lamda_(1) = lamda_(2)`
तथा `2lamda_(1)^(2) + 3lamda_(1) - 3 lamda_(1) -2 = 0`
`rArr lamda_(1) = pm1 = lamda_(2)`
यहाँ `lamda_(1) = lamda_(2) ne -1` सम्भव नहीं हैं क्योंकि इस स्थिति में रेखाखण्ड एक - दूसरे के समान्तर होंगे ।
इसलिए `lamda_(1) = lamda_(2) = 1`
`rArr` A के निर्देशांक = `((-1 + 4)/(2) , (-2 + 7)/(2) , (1 + 8)/(2))`
` = ((3)/(2) , (5)/(2),(9)/(2))`