सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं । यह भी सिद्ध कीजिए कि संगमन बिंदु माध्यिकाओं को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता हैं ।

Explanation

माना त्रिभुज के शीर्ष A, B व C हैं जहां
A `-= (x_(1) , y_(1),z_(1)), B -= (x_(2),y_(2),z_(2)) व C = (x_(3),y_(3),z_(3))`
माना BC का मध्य - बिंदु D हैं
तब D के निर्देशांक = `((x_(2) + x_(3))/(2) , (y_(2) + y_(3))/(2) , (z_(2) + z_(3))/(2))`
अब माना बिंदु G रेखाखण्ड AD को 2:1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता हैं ।

तब , G के निर्देशांक
`= ((2((x_(2)+x_(3))/(2)) +1* x_(1))/(3),(2((y_(2) + y_(3))/(2))+1*y_(1))/(3), (2((z_(2) + z_(3))/(2)) + 1*z_(1))/(3))`
= `((x _1 + x_(2) + x_(3))/(3) , (y_(1) + y_(2) + y_(3))/(3) ,(z_(1) + z_(2) + z_(3))/(3))`
स्पष्टतः G, त्रिभुज ABC की अन्य दो माध्यिकाओं पर भी स्थित हैं ।
`rArr` त्रिभुद की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं तथा G प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता हैं ।