सिद्ध कीजिये `(logx)/(x-1)` की `xto1` पर दक्षिण पक्ष तथा वाम पक्ष सीमाये समान है तथा इसका मान '1 ' है।

Explanation

फलन की वाम पक्ष सीमा (Left hand limit of function )
प्रदत्त फलन `f(x)=(logx)/(x-1)`
माना `x=1-h` अतः यदि `x=1` तब `h=0thereforeto1impliesh to0`
`thereforeunderset(xto1^(-))limf(x)=underset(h to 0)lim f(1-h)`
`=underset(h to0)lim(log(1-h))/(1-h-1)`
`=underset(h to 0)lim (log(1-h))/(-h)`
`=underset(h to 0)lim(-"["h+1/2h^(2)+1/3h^(3)+...oo"]")/(-h)`
`[because " "log(1-x)=-"["x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)+...oo"]"]`
`=underset(htoo)lim [1+h/2+(h^(2))/(3)+(h^(3))/(4)+...oo]=[1+0+0+...]=1`
`therefore` फलन की वाम पक्ष सीमा = 1
फलन की दक्षिण पक्ष सीमा (Right hand limit of the function )
माना `x=1+h`
यदि `x=1` तब `h=0`
`thereforeunderset(xto1)lim impliesunderset(xto0)lim `
`thereforeunderset(x to 1^(+))limf(x)=underset(hto0)lim f(1+h)`
`=underset(hto0)lim(log(1+h))/((1+h-1))`
`=underset(h to 0)lim(log(1+h))/(h)=underset(h to 0)lim(h-(h^(2))/(2)+(h^(3))/(3)-(h^(4))/(4)+...)/(h)`
`=underset(h to 0)lim (h[1-(h)/(2)+(h^(2))/(3)-(h^(3))/(4)+...oo])/(h)`
`=underset(h to 0)lim[1-(h)/(2)+(h^(2))/(3)-(h^(3))/(4)+...oo]`
`=1-0+0-0+...=1`
`therefore` फलन की दक्षिण पक्ष सीमा = 1
अतः फलन की वाम पक्ष सिमा=फलन की दक्षिण पक्ष सीमा = 1